רובנו פוגשים מתמטיקה בבית הספר דרך משוואות, שברים, גאומטריה ומבחנים. אבל עבור המתמטיקאי טרנס טאו, מתמטיקה היא הרבה יותר מאוסף של נוסחאות.

טאו, פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת קליפורניה בלוס אנג'לס וזוכה מדליית פילדס – מההכרות החשובות ביותר בעולם המתמטיקה – מציע להסתכל על התחום דרך שישה רעיונות בסיסיים: מספרים, אלגברה, גאומטריה, הסתברות, אנליזה ודינמיקה.

הרעיונות האלה עתיקים מאוד, אבל במשך מאות ואלפי שנים הם הפכו לכלים מתוחכמים שמאפשרים לנו להבין תופעות החל ממסחר וחקלאות ועד מכניקת הקוונטים, מזג האוויר, תנועה של כלי רכב ואפילו בינה מלאכותית.

והרעיון המעניין ביותר של טאו הוא שכאשר מסירים את כל הנוסחאות והסימונים המורכבים, מגלים שמדובר ברעיונות אינטואיטיביים למדי. המתמטיקה היא למעשה שפה מדויקת שמאפשרת לנו לחשוב עליהם בצורה מסודרת.

מי הוא טרנס טאו?
טרנס טאו הוא מתמטיקאי אוסטרלי-אמריקאי ופרופסור למתמטיקה ב-UCLA, שזכה במדליית פילדס בשנת 2006. טרנס נולד באדלייד, אוסטרליה, שם הצטיין במתמטיקה ברמת אוניברסיטה עד גיל תשע, ובגיל 13 הפך לזוכה הצעיר ביותר במדליית הזהב באולימפיאדה הבינלאומית למתמטיקה. הוא קיבל את הדוקטורט שלו בפרינסטון בגיל 20 והצטרף לסגל המתמטיקה של UCLA, והפך לפרופסור הצעיר ביותר אי פעם עם קביעות באוניברסיטה בגיל 24. בשנת 2006 זכה במדליית פילדס על תרומותיו הכוללות משוואות דיפרנציאליות חלקיות, קומבינטוריקה, אנליזה הרמונית ותורת המספרים האדיטיביים, והוא נותר פרופסור ב-UCLA כיום, הידוע בעבודותיו הפוריות והרחבות, כולל משפט גרין-טאו על סדרות מספרים ראשוניים.

מהם ששת הרעיונות המתמטיים שמציג טרנס טאו?
טרנס טאו מציג שישה תחומים מרכזיים: מספרים, אלגברה, גאומטריה, הסתברות, אנליזה ודינמיקה.

6 רעיונות מתמטיים – טרנס טאו

מספרים: הדרך שלנו להפוך את העולם למדויק

מספרים הם כנראה ההמצאה המתמטית העתיקה והשימושית ביותר. עוד לפני שהיו מערכות כתיבה מפותחות, בני אדם השתמשו בסימנים כדי לתעד כמויות. הצורך היה פשוט: כמה בעלי חיים יש לנו? כמה תבואה? כמה אנשים? כמה רחוק? כמה עולה?

בלי מספרים היינו נאלצים לתאר כמויות במילים, והתקשורת הייתה הופכת במהירות למעורפלת. המספר הופך רעיון כמו "הרבה", "מעט" או "בערך" למשהו שאפשר להעביר מאדם לאדם בדיוק רב יותר.

אבל ברגע שבני האדם התחילו לעסוק במספרים, התברר שהם אינם רק כלי לספירת עצמים.

נניח שיש לנו את המספרים 1, 2, 3 ו-4. אפשר לחבר אותם. אבל מה קורה כאשר רוצים לחשב 3 פחות 4?

בעולם של כבשים, אי אפשר לקחת ארבע כבשים משלוש כבשים. אבל המתמטיקה לא הסתפקה במה שאפשר לראות באופן פיזי. היא הרחיבה את מערכת המספרים והכניסה לתוכה את המספרים השליליים ואת האפס.

בהמשך הגיעו השברים. ואז התגלתה תגלית מפתיעה עוד יותר: קיימים מספרים שאי אפשר לייצג כשבר פשוט, כמו √2. אלה הם המספרים האי-רציונליים.

ולבסוף הגיעו גם המספרים המרוכבים, שנולדו מתוך הצורך להתמודד עם שורשים של מספרים שליליים. כיום הם אינם סתם משחק מתמטי מופשט – הם ממלאים תפקיד חשוב בתחומים כמו אלקטרומגנטיות ומכניקת הקוונטים.

זהו אחד הדברים המרתקים בתולדות המתמטיקה: רעיון שנראה בתחילה כמו פתרון מלאכותי לבעיה מתמטית יכול להפוך בהמשך לשפה טבעית לתיאור המציאות.

למה מספרים חשובים גם בחיי היומיום?

טאו מדגיש שמחשבה כמותית יכולה לעזור לנו בהחלטות רבות – החל מענייני כספים ועד רפואה.

אבל הוא גם מציין שלא הכול צריך להפוך לחישוב. יש דברים בחיים שהם אישיים וסובייקטיביים, ולכן אין טעם לנסות להכניס כל החלטה לנוסחה.

הכוח של המספרים נמצא דווקא במקומות שבהם כמות, גודל, עלות, סיכון או תוצאה ניתנים למדידה.

אלגברה: כשאנחנו מפסיקים לחשוב על מספר מסוים

אם המספרים הם השלב הראשון, האלגברה לוקחת אותנו רמה אחת למעלה. במקום לעבוד רק עם מספר מסוים, כמו 7 או 17, אנחנו משתמשים בסמלים כמו x ו-y. כך אפשר לדבר על משפחות שלמות של בעיות במקום לפתור כל מקרה בנפרד.

אבל האלגברה עושה דבר עמוק יותר: היא מאפשרת לנו לחקור את הכללים שמפעילים פעולות מתמטיות.

לדוגמה, אנחנו יודעים שחיבור של a ו-b נותן אותה תוצאה כמו חיבור של b ו-a. זהו חוק החילוף.

ברגע שמבינים את החוק, אפשר לזהות אותו גם במערכות שאינן נראות כמו מספרים בכלל.

טאו נותן דוגמה לסיבובים: אם מסובבים עצם ב-30 מעלות ואז ב-60 מעלות, נקבל אותה תוצאה כמו בסדר ההפוך. אבל פעולות אחרות אינן מתחלפות. למשל, לבישת גרביים ולאחר מכן נעליים אינה זהה ללבישת נעליים ולאחר מכן גרביים.

כך האלגברה הופכת ממערכת של "פתרון משוואות" למשהו הרבה יותר כללי: חיפוש אחר מבנים וכללים שחוזרים על עצמם במערכות שונות.

ומה הקשר לבינה מלאכותית?

אחת הדוגמאות המודרניות המעניינות היא מטריצות, מערכים של מספרים המאורגנים בשורות ובעמודות. מטריצה מכילה הרבה יותר מידע ממספר בודד, וחוקי האלגברה מאפשרים לנו לעבד את המידע הזה באופן שיטתי. לטאו יש לכך דוגמה חשובה בטכנולוגיה המודרנית: מודלים של שפה ומערכות בינה מלאכותית מבצעים כמויות עצומות של פעולות מתמטיות על מטריצות, ובזכות כוח החישוב המודרני הם מבצעים אותן במהירות גבוהה מאוד.

חביות יין: איך אלגברה הובילה את קפלר לרעיון של חשבון דיפרנציאלי

אחת הדוגמאות היפות בריאיון מגיעה דווקא משוק היין. האסטרונום יוהנס קפלר נתקל בסוחרי יין שהצליחו להעריך את נפח החביות שלהם באמצעות מדידה אחת פשוטה יחסית: מוט שסומן במידות והוכנס דרך הפתח שבחבית. קפלר תהה כיצד מדידה של אורך מסוים יכולה לספק מידע על נפח החבית, למרות שחביות יכולות להיות רחבות ונמוכות או צרות וגבוהות. הוא התחיל לנתח את הבעיה מתמטית.

ואז הגיעה התובנה: הסוחרים לא ניסו רק למדוד את החבית. הם רצו למקסם את כמות היין שהם יכולים למכור במסגרת מגבלות מסוימות. קפלר השתמש ברעיון של מקסום כדי להסביר באופן מתמטי את הצורה של החביות שנוצרה בפועל בשוק. העבודה הזו הייתה, במובן מסוים, גרסה מוקדמת של רעיונות שאנו מקשרים כיום לחשבון דיפרנציאלי ולחיפוש אחר נקודות מקסימום ומינימום. הסיפור ממחיש כיצד בעיה מעשית לחלוטין יכולה להוביל לשאלה מתמטית עמוקה.

גאומטריה: איך למדוד דברים שאי אפשר להגיע אליהם

המילה "גאומטריה" מגיעה מיוונית ומשמעותה המילולית קשורה ל"מדידת הארץ". במשך אלפי שנים אנשים היו צריכים לדעת למדוד מרחקים, לנווט, לחשב שטחים ולתכנן מבנים. אבל אחד הכוחות הגדולים של הגאומטריה הוא שהיא מאפשרת לנו למדוד דברים שאיננו יכולים להגיע אליהם ישירות.

נניח שאנחנו רוצים לדעת כמה רחוק נמצא הר. אי אפשר פשוט ללכת אל ההר ולמדוד אותו באמצעות סרט מדידה ארוך. אבל אם אנחנו יודעים את גובהו המשוער ואת הזווית שבה אנחנו רואים את פסגתו, אפשר להשתמש ביחסים גאומטריים ובמשולשים דומים כדי לחשב את המרחק. העיקרון הזה מאפשר לנו להרחיב את החושים שלנו מעבר למה שאפשר לגעת בו. והדבר המדהים הוא שזה עבד כבר בעת העתיקה. אסטרונומים יוונים השתמשו בגאומטריה כדי לנסות להעריך את המרחקים לירח ולשמש, גופים שאיש כמובן לא יכול היה למדוד ישירות. כלומר, גאומטריה היא לא רק שרטוטים ומשולשים על דף. היא דרך להסיק על דברים בלתי נגישים מתוך דברים שכן אפשר למדוד.

הסתברות: המתמטיקה של אי-הוודאות

המתמטיקה בבית הספר מציגה לנו בדרך כלל עולם מסודר מאוד. "יש 30 תפוחים, מחציתם ניתנים לאדם אחר כמה נשארו?" במציאות, לעומת זאת, אנחנו כמעט אף פעם לא יודעים הכול. האם מטבע ייפול על עץ או פלי? מה הסיכוי שתרופה תצליח? מניה תעלה? כמה אנשים יגיעו לאירוע? מה יהיה מזג האוויר בעוד כמה ימים? כאן נכנסת ההסתברות.

למה הסתברות חשובה בחיי היומיום?
הסתברות מאפשרת לנו להתמודד באופן מתמטי עם מצבים שבהם אין לנו ודאות, כמו תחזיות מזג אוויר, רפואה, סקרים ומודלים כלכליים. במקום לנסות לדעת בוודאות מה יקרה, אנחנו מנסים להבין מה הסיכויים השונים לתוצאות האפשריות. באופן מעניין, אחד ממקורותיה ההיסטוריים של תורת ההסתברות היה עולם ההימורים. מהמרים רצו לדעת מה הסיכוי לקבל תוצאה מסוימת בקוביות, ומתמטיקאים התחילו לפתח כלים כדי לענות על השאלות האלה. אבל ההסתברות יצאה מזמן מעולם המשחקים. כיום משתמשים בה ברפואה, בכלכלה, בפיזיקה, בביולוגיה ובמדעי הנתונים, למעשה בכל מקום שבו קיימת אי-ודאות.

ומהי "עקומת הפעמון"?

אחד הרעיונות המעניינים שטאו מזכיר הוא תופעת ה"אוניברסליות" בהסתברות. מערכות אקראיות שונות מאוד זו מזו יכולות להוביל להתפלגויות בעלות צורה דומה. הדוגמה המפורסמת היא ההתפלגות הנורמלית, או "עקומת הפעמון", שמופיעה במגוון תופעות סטטיסטיות. זה מפתיע: מדוע תהליכים שונים כל כך יכולים לייצר דפוסים מתמטיים דומים? זו אחת השאלות שהופכות את ההסתברות להרבה יותר עמוקה מאשר חישוב פשוט של "מה הסיכוי".

אנליזה: מה קורה כשמתקרבים לאינסוף?

אנליזה היא אולי המושג שקשה יותר להסביר באמצעות דוגמה יומיומית, אבל הרעיון הבסיסי שלה פשוט יחסית. בעולם האמיתי אנחנו כמעט תמיד מודדים דברים בקירוב. אנחנו יכולים למדוד אורך ולומר שהוא בערך שני מטרים, אבל אולי קיימת שגיאה של כמה סנטימטרים. אנליזה עוסקת בין היתר בשאלה מה קורה כאשר אנחנו הופכים את המדידה למדויקת יותר ויותר. מה קורה כאשר השגיאה הולכת וקטנה? ומה קורה כאשר ממשיכים את התהליך באופן אידיאלי עד אינסוף? מכאן מגיעים שניים מהרעיונות המרכזיים באנליזה: גבולות ואינסוף.

למה אינסוף מסוכן למתמטיקה?

טאו מסביר שכללים שעובדים היטב עבור מספר סופי של פעולות לא תמיד מתנהגים באותה צורה כאשר עוברים למספר אינסופי של פעולות. וזו אחת הסיבות שאינסוף הוא מושג שצריך לטפל בו בזהירות. הוא משתמש גם ברעיון המפורסם של "הקופים האינסופיים": אם קוף יקליד באופן אקראי במשך זמן אינסופי, וכל רצף תווים אפשרי מקבל הסתברות חיובית להופיע, אז בסופו של דבר הרצף המבוקש יופיע בהסתברות המתקרבת ל-100%. אבל כאן מגיע החלק החשוב: האפשרות המתמטית אינה אומרת שהדבר מעשי. ככל שהטקסט ארוך יותר, הזמן הצפוי לקבל אותו גדל במהירות עצומה. משפט קצר הוא דבר אחד; יצירה ארוכה היא סיפור אחר לחלוטין. לכן אינסוף משמש במתמטיקה לעיתים קרובות כמעין עולם אידיאלי שמאפשר להבין מה אפשרי באופן עקרוני, לפני שחוזרים למציאות שבה יש לנו זמן, כסף, אנרגיה ומשאבים מוגבלים.

דינמיקה: איך דברים משתנים עם הזמן

היסוד השישי הוא דינמיקה – המתמטיקה של שינוי לאורך זמן. אנחנו מתחילים ממצב מסוים, מפעילים עליו כללים, ואז בודקים כיצד המערכת משתנה מרגע לרגע. והתופעה המעניינת היא שכללים פשוטים מאוד יכולים ליצור התנהגות מורכבת להפליא.

מהי דינמיקה במתמטיקה?
דינמיקה עוסקת באופן שבו מערכות משתנות לאורך זמן. היא משמשת בין היתר לחקר תנועה, מזג אוויר, מערכות ביולוגיות ותופעות מורכבות.

אבולוציה היא דוגמה לכך. כללים בסיסיים של רבייה, שונות וברירה יכולים להוביל למגוון עצום של יצורים ומערכות אקולוגיות. אבל אפשר לראות את אותו רעיון גם בפקק תנועה. כל נהג מנסה פשוט להתאים את המהירות למכונית שלפניו. אין צורך שנהג יחיד יעשה משהו מסובך במיוחד. אבל כאשר מחברים מאות או אלפי מכוניות, נוצרת מערכת שלמה – ולפתע מופיעות "גלי תנועה": האטה יכולה לעבור לאורך הכביש גם לאחר שהגורם המקורי לה כבר נעלם. כלומר, ההתנהגות של המערכת כולה אינה תמיד ברורה מתוך ההתנהגות של כל חלק בנפרד.

יציבות, כאוס ומזג האוויר

דינמיקה מאפשרת לנו לחקור גם יציבות. מטוטלת שנמצאת בתחתית שלה נמצאת במצב יציב: אם נדחוף אותה מעט, היא תנוע ואז תחזור לכיוון נקודת שיווי המשקל. מטוטלת העומדת בדיוק הפוך, על הקצה, נמצאת במצב לא יציב. דחיפה זעירה יכולה לגרום לה להתרחק מנקודת שיווי המשקל. אותם רעיונות פועלים גם במערכות מורכבות הרבה יותר, כמו האטמוספרה ומערכות אקולוגיות. תחזית מזג האוויר ממחישה היטב את הכוח של מדע הדינמיקה: חזאים ומדענים מזינים מודלים מתמטיים בכמויות עצומות של נתונים, והמודלים מנתחים אותם ומספקים תחזיות שימושיות למספר ימים קדימה. כל זאת למרות המורכבות העצומה של האטמוספרה.

ומה קורה כשמכניסים לתמונה בינה מלאכותית?

כאן הראיון של טאו הופך לרלוונטי במיוחד להווה. לדבריו, בינה מלאכותית כבר מסוגלת לבצע חלק מהמשימות המתמטיות והמדעיות שבעבר דרשו זמן רב מבני אדם. היא יכולה לסייע בחיפוש ספרות מדעית, בבדיקת הוכחות, בכתיבת קוד ובניתוח נתונים. אבל טאו מצביע על שאלה מעניינת יותר: מה אנחנו מפסידים כאשר המכונה עושה את כל העבודה?

מה הקשר בין מתמטיקה לבינה מלאכותית?
מערכות בינה מלאכותית רבות נשענות על חישובים מתמטיים, ובמיוחד על אלגברה ליניארית ומטריצות, המשמשות לייצוג ולעיבוד כמויות גדולות של מידע.

טאו משתמש באנלוגיה של טיול רגלי. נניח שאנחנו רוצים להגיע למפל יפהפה. אפשר לטייל לשם, לטעות בדרך, לגלות מקומות אחרים, להכין מפה וללמוד את השטח. אבל אפשר גם לקחת מסוק, לטוס ישירות למפל ולחזור. המסוק אמנם יעיל בהרבה, אבל במהלך הטיול הרגלי למדנו דברים שלא היינו מגלים בדרך הקצרה. אותו דבר יכול לקרות במדע. בינה מלאכותית עשויה להגיע לתוצאה במהירות, אבל התהליך האנושי של ניסוי, טעות, חיפוש והבנה עשוי להיות חשוב לא פחות מהתוצאה עצמה.

טעות בדרך אינה בהכרח כישלון. לפעמים היא הדרך להבין אילו דרכים לא עובדות.

אחד הדברים המעניינים ביותר בראיון אינו דווקא אחד מששת התחומים. זו הדרך שבה טאו מתאר את תהליך הגילוי המתמטי. הדימוי המקובל של מתמטיקאי הוא אדם שמביט בבעיה, מקבל לפתע רעיון מבריק – "רגע האאוריקה" – ומיד פותר אותה. טאו אומר שהמציאות בדרך כלל שונה. הוא מנסה רעיון. הוא נכשל. מנסה משהו אחר. מגיע למבוי סתום. מפרק את הבעיה לחלק קטן יותר. מנסה לפתור אותו. מגלה מה לא עובד. אחרי שבועות או חודשים של ניסיונות, לפעמים התשובה הופכת ברורה. ואז, בדיעבד, היא נראית כמעט מובנת מאליה. זו אולי אחת התובנות היפות ביותר שאפשר לקחת מהמתמטיקה גם בלי לדעת לפתור משוואה מסובכת:

שישה רעיונות, שפה אחת

אם מחברים את ששת היסודות של טאו, מתקבלת מעין מפה של הדרך שבה בני אדם למדו לתאר את העולם:

• מספרים אומרים לנו כמה.
• אלגברה מאפשרת לנו למצוא את הכללים שמאחורי המספרים.
• גאומטריה מאפשרת לנו להבין מרחב, צורה ומרחק.
• הסתברות עוזרת לנו להתמודד עם אי-ודאות.
• אנליזה מאפשרת לנו לחשוב על שינוי, דיוק, גבולות ואינסוף.
• דינמיקה מספרת לנו כיצד מערכות משתנות לאורך זמן.

יחד, הם יוצרים הרבה יותר מאוסף של מקצועות שנלמדים בבית הספר. הם מספקים שפה שבאמצעותה אפשר לתאר חלקים עצומים מהמציאות – החל ממסחר וחביות יין, דרך מרחקים בין גרמי שמיים ועד מזג האוויר, טכנולוגיה ובינה מלאכותית.

ואולי זו הסיבה שמתמטיקה ממשיכה להפתיע אותנו: לפעמים רעיון שנולד כדי לפתור בעיה מופשטת על הנייר הופך, שנים או מאות שנים מאוחר יותר, לכלי שמאפשר לנו להבין משהו אמיתי לחלוטין בעולם.

המתמטיקה לא רק עוזרת לנו לחשב את העולם. היא עוזרת לנו לראות בו דפוסים שלא היינו מסוגלים לראות בלעדיה.

צפו בריאיון המלא מערוץ היוטיוב © Big Think, הערוץ שיהפוך אתכם לחכמים יותר ובמהירות. כאן תמצאו שיחות עם ההוגים המבריקים ביותר בעולם. גלו את הרעיונות המעצבים את עתיד המדע, הפילוסופיה, התרבות והתודעה האנושית. ספריית הסרטונים הענפה של הערוץ מזקקת תובנות מורכבות לכדי ידע ברור ויישומי, ומציעה כלים למחשבה, לעבודה ולחיים בעולם משתנה.

בין המרצים בערוץ החולקים את הרעיונות המגדירים את תקופתנו ואת השאלות שיעצבו את עתידנו:

• הפילוסוף דניאל דנט
• הפיזיקאי בריאן קוקס
• חוקרת העת העתיקה מרי בירד
• הפסיכיאטר בסל ואן דר קולק
• המדען הפוליטי איאן ברמר
• האנתרופולוגית הלן פישר

ב-Zemaze אנחנו משלימים לכם את הפערים בזווית ייחודית. מגזין התוכן הישראלי שלנו מחבר בין אסטרטגיה ללייף סטייל. אנחנו מביאים ניתוחי עומק על טכנולוגיה, AI וגאופוליטיקה, לצד סקירות רכב ומדריכי טיולים. הצטרפו אלינו כדי להבין את המגמות העולמיות מבלי לוותר על הדברים הקטנים של החיים. אתם במקום הנכון.